八年级数学勾股定理经典例题解析

　　勾股定理是我们学习三角形应用的基础解题知识点，下面是小编给大家带来的数学勾股定理经典例题解析，希望能够帮助到大家!

　　勾股定理经典例题解析

　　经典例题透析

　　类型一：勾股定理的直接用法

　　1、在Rt△ABC中，∠C=90°

　　(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a.

　　思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

　　解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

　　(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

　　(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

　　举一反三

　　【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

　　【答案】∵∠ACD=90°

　　AD=13, CD=12

　　∴AC2 =AD2-CD2

　　=132-122

　　=25

　　∴AC=5

　　又∵∠ABC=90°且BC=3

　　∴由勾股定理可得

　　AB2=AC2-BC2

　　=52-32

　　=16

　　∴AB= 4

　　∴AB的长是4.

　　类型二：勾股定理的构造应用

　　2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC的长.

　　思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有

　　， ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.

　　解析：作 于D，则因 ，

　　∴ ( 的两个锐角互余)

　　∴ (在 中，如果一个锐角等于 ，

　　那么它所对的直角边等于斜边的一半).

　　根据勾股定理，在 中，

　　.

　　根据勾股定理，在 中，

　　.

　　∴ .

　　举一反三【变式1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： .

　　解析：连结BM，根据勾股定理，在 中，

　　.

　　而在 中，则根据勾股定理有

　　.

　　∴

　　又∵ (已知)，

　　∴ .

　　在 中，根据勾股定理有

　　，

　　∴ .

　　【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

　　分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

　　解析：延长AD、BC交于E。

　　∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

　　∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

　　∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。

　　∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。

　　∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB•BE- CD•DE=

　　类型三：勾股定理的实际应用

　　(一)用勾股定理求两点之间的距离问题

　　3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

　　(1)求A、C两点之间的距离。

　　(2)确定目的地C在营地A的什么方向。

　　解析：(1)过B点作BE//AD

　　∴∠DAB=∠ABE=60°

　　∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

　　∴∠CBA=90°

　　即△ABC为直角三角形

　　由已知可得：BC=500m，AB=

　　由勾股定理可得：

　　所以

　　(2)在Rt△ABC中，

　　∵BC=500m，AC=1000m

　　∴∠CAB=30°

　　∵∠DAB=60°

　　∴∠DAC=30°

　　即点C在点A的北偏东30°的方向

　　举一反三

　　【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

　　【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB， 与地面交于H.

　　解：OC=1米 (大门宽度一半)，

　　OD=0.8米 (卡车宽度一半)

　　在Rt△OCD中，由勾股定理得：

　　CD= = =0.6米，

　　CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).

　　因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.

　　(二)用勾股定理求最短问题

　　4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.

　　思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.

　　解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为

　　AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3

　　图(3)中，在Rt△ABC中

　　同理

　　∴图(3)中的路线长为

　　图(4)中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH=CH

　　由∠FBH= 及勾股定理得：

　　EA=ED=FB=FC=

　　∴EF=1-2FH=1-

　　∴此图中总线路的长为4EA+EF=

　　3>2.828>2.732

　　∴图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.

　　举一反三

　　【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.

　　解：

　　如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm， 根据勾股定理得

　　(提问：勾股定理)

　　∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).

　　答：最短路程约为10.77cm.

　　类型四：利用勾股定理作长为 的线段

　　5、作长为 、 、 的线段。

　　思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。

　　作法：如图所示

　　(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边;

　　(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 。斜边为 ;

　　(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是

　　、 、 、 。

　　举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。

　　解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ，

　　为了有利于画图让其他两边的长为整数，

　　而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

　　作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

　　以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 。

　　类型五：逆命题与勾股定理逆定理

　　6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

　　1.原命题：猫有四只脚.(正确)

　　2.原命题：对顶角相等(正确)

　　3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)

　　4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确)

　　思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

　　解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫(不正确)

　　2. 逆命题：相等的角是对顶角(不正确)

　　3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(正确)

　　4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)

　　总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

　　7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

　　思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

　　解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：

　　a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

　　∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

　　∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

　　∴ a=3，b=4，c=5。

　　∵ 32+42=52,

　　∴ a2+b2=c2。

　　由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

　　总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

　　举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

　　【答案】：连结AC

　　∵∠B=90°，AB=3，BC=4

　　∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

　　∴AC=5

　　∵AC2+CD2=169，AD2=169

　　∴AC2+CD2=AD2

　　∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

　　【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.

　　分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可

　　证明：

　　所以△ABC是直角三角形.

　　【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。

　　请问FE与DE是否垂直?请说明。

　　【答案】答：DE⊥EF。

　　证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,

　　∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;

　　DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

　　连接DF(如图)

　　DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

　　∴ DF2=EF2+DE2,

　　∴ FE⊥DE。

　　经典例题精析

　　类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

　　1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

　　思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

　　解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

　　(3x)2+(4x)2=202

　　化简得x2=16;

　　∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96

　　总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。

　　举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

　　【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

　　则：BD= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)

　　∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)

　　∴BD=1

　　在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3

　　∴AD=

　　S△ABC= BC•AD=

　　注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a。

　　【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

　　【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

　　由(1)得：x+y=7，

　　(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49 (3)

　　(3)-(2)，得：xy=12

　　∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6(cm2)

　　【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

　　思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

　　解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

　　(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2

　　化简得：n2=4

　　∴n=±2，但当n=-2时，n+1=-1<0，∴n=2

　　总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

　　【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )

　　A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

　　解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

　　对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。

　　例如：对于选择D，

　　∵82≠(40+39)×(40-39)，

　　∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

　　同理可以判断其它选项。 【答案】：A

　　【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

　　解：连结AC

　　∵∠B=90°，AB=3，BC=4

　　∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

　　∴AC=5

　　∵AC2+CD2=169，AD2=169

　　∴AC2+CD2=AD2

　　∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

　　∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD=36

　　类型二：勾股定理的应用

　　2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?

　　思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

　　解析：作AB⊥MN，垂足为B。

　　在 RtΔABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°， AP=160，

　　∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)

　　∵点 A到直线MN的距离小于100m,

　　∴这所中学会受到噪声的影响。

　　如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m)，

　　由勾股定理得： BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。

　　同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),

　　∴CD=120(m)。

　　拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s

　　t=120m÷5m/s=24s。

　　答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

　　总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

　　举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。

　　解析：他们原来走的路为3+4=7(m)

　　设走“捷径”的路长为xm，则

　　故少走的路长为7-5=2(m)

　　又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4

　　【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

　　(1)直接写出单位正三角形的高与面积。

　　(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?

　　(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。

　　【答案】(1)单位正三角形的高为 ，面积是 。

　　(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。

　　(3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示)，则在Rt△ACK中， ，

　　，故

　　类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法

　　我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.

　　3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。

　　思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.

　　解：连接AD.

　　因为∠BAC=90°，AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线，

　　所以AD=DC=DB.AD⊥BC.

　　且∠BAD=∠C=45°.

　　因为∠EDA+∠ADF=90°. 又因为∠CDF+∠ADF=90°.

　　所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).

　　所以AE=FC=5.

　　同理：AF=BE=12.

　　在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

　　，所以EF=13。

　　总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

　　(二)方程的思想方法

　　4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ，求 、 、 的值。

　　思路点拨：由 ，再找出 、 的关系即可求出 和 的值。

　　解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，

　　则 ，由勾股定理，得 。

　　因为 ，所以 ，

　　， ， 。

　　总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

　　举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

　　解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。

　　因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，

　　在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，

　　所以 。 所以 。

　　设 ，则 。

　　在Rt△ECF中， ，即 ，解得 。

　　即EF的长为5cm。

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